El cálculo lógico es un sistema de reglas de inferencia o deducción de un enunciado a partir de otro u otros. El cálculo lógico requiere un conjunto consistente de axiomas y unas reglas de inferencia; su propósito es poder deducir algorítmicamente proposiciones lógicas verdaderas a partir de dichos axiomas. La inferencia es una operación lógica que consiste en obtener una proposición lógica como conclusión a partir de otra(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.19
Informalmente interpretamos que alguien infiere —o deduce— T de R si acepta que si R tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, T tiene valor de verdad V. Sin embargo, en el enfoque moderno del cálculo lógico no es necesario acudir al concepto de verdad, para construir el cálculo lógico.
Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos —supuestamente verdaderos y válidos— para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.20
La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados —premisas- en otros -conclusiones— con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.
Al aplicar las reglas de un cálculo lógico a los enunciados de un argumento mediante la simbolización adecuada como fórmulas o expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, construimos un modelo o sistema deductivo. En ese contexto, las reglas de formación de fórmulas definen la sintaxis de un lenguaje formal de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno; y las reglas de transformación del sistema permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías.
Un lenguaje formal que sirve de base para el cálculo lógico está formado por varias clases de entidades:
Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
Un conjunto de reglas de formación de «expresiones bien formadas» (EBF) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.
Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático. Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:
Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, ƒ, y su negación, no – ƒ, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.
Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración matemática o prueba de que es un teorema del sistema.
La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto «no es posible» (véase el Teorema de Gödel).
Sistematización de un cálculo de deducción natural
Reglas de formación de fórmulas
I. Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.
II. Si A es una EBF, ¬ A también lo es.
III. Si A es una EBF y B también, entonces A ∧ B; A ∨ B; A → B; A ↔ B, también lo son.
IV. Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I, II, III.
Notas:
A, B, … con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica (p,q,r,s, …) o molecular (p ∧ q), (p ∨ q), …
A, B, … son símbolos que significan variables; ¬, ∧, ∨, →, ↔, son símbolos constantes.
Existen diversas formas de simbolización. Utilizamos aquí la de uso más frecuente en España.21
Reglas de transformación de fórmulas
1) Regla de sustitución (R.T.1):
Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.
Veamos el ejemplo:
1 [(p ∧ q) ∨ r] → t ∨ s Transformación
2 A ∨ r → B Donde A = (p ∧ q); y donde B = (t ∨ s)
3 C → B Donde C = A ∨ r
O viceversa
1 C → B Transformación
2 A ∨ r → B Donde A ∨ r = C
3 [(p ∧ q) ∨ r] → t ∨ s Donde (p ∧ q) = A; y donde (t ∨ s) = B
2) Regla de separación (R.T.2):
Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X → Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.
Esquemas de inferencia
Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:
[A ∧ B ∧ C … ∧ N] → Y
lo que constituye un esquema de inferencia en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas A, B, … N y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusión Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lógica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautología.
Por la regla de separación podremos concluir Y, de forma independiente como verdad.
Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el cálculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes lógicas utilizadas como reglas de transformación, como se expone en cálculo lógico.
El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico
Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones?
Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.22
Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalización de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBF de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en cálculo lógico.
Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas formalizadas como proposiciones lógicas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo:
Cálculo proposicional o cálculo de enunciados
Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposición atómica, como un todo sin analizar.
Cálculo como lógica de clases
Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que poseen o no poseen una propiedad común determinada como pertenecientes o no pertenecientes a una clase natural o a un conjunto como individuos.
Cálculo de predicados o cuantificacional
Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la misma de forma que una posible función predicativa (P), se predica de unos posibles sujetos variables (x) [tomados en toda su posible extensión: (Todos los x); o referente a algunos indeterminados: (algunos x)], o de una constante individual existente (a).
Cálculo como lógica de relaciones
Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdad propio, verdadero o falso, como resultado del análisis de la oración como una relación R que se establece entre un sujeto y un predicado.
La simbolización y formación de EBFs en cada uno de esos cálculos, así como las reglas de cálculo se trata en cálculo lógico.